समाकलन int_{frac{pi}{4}}^{frac{3pi}{4}} frac{ | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{x}{1+\sin x} dx$ है। गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करते

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$\pi(\sqrt{2}-1)$

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(B) माना $I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{x}{1+\sin x} dx$ है। गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a+b = \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = \pi$: $I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{\pi-x}{1+\sin(\pi-x)} dx = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{\pi-x}{1+\sin x} dx$। $I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर: $2I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{x + \pi - x}{1+\sin x} dx = \pi \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{1}{1+\sin x} dx$। अंश और हर को $(1-\sin x)$ से गुणा करने पर: $2I = \pi \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{1-\sin x}{\cos^2 x} dx = \pi \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} (\sec^2 x - \sec x 	an x) dx$। समाकलन करने पर: $2I = \pi [	an x - \sec x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}$। सीमाओं का मान रखने पर: $2I = \pi [(	an \frac{3\pi}{4} - \sec \frac{3\pi}{4}) - (	an \frac{\pi}{4} - \sec \frac{\pi}{4})]$। $2I = \pi [(-1 - (-\sqrt{2})) - (1 - \sqrt{2})] = \pi [\sqrt{2} - 1 - 1 + \sqrt{2}] = \pi [2\sqrt{2} - 2]$। $I = \pi(\sqrt{2}-1)$।

समाकलन $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{x}{1+\sin x} dx$ का मान है

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यदि $I = \frac{2}{\pi} \int_{-\pi / 4}^{\pi / 4} \frac{dx}{(1 + e^{\sin x})(2 - \cos 2x)}$ है,तो $27 I^2$ का मान . . . . . . . . है।

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